martes, 21 de enero de 2020

Ley de Morgan


Definición
En lógica proposicional y álgebra Booleana, las leyes de De Morgan​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:{\displaystyle \neg (P\land Q)\iff (\neg P)\lor (\neg Q)}
{\displaystyle \neg (P\lor Q)\iff (\neg P)\land (\neg Q)}donde:
  •         es el operador de negación (NO)
  • {\displaystyle \land } es el operador de conjunción (Y)
  • {\displaystyle \lor } es el operador de disyunción (O)
  •         es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"
Entre las aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
Suma de Productos y Producto de Sumas 
Cuando se trabaja con expresiones booleanas, es deseable que estas se encuentren expresadas en una de dos formas: como suma de productos o como producto de sumas.
Una suma de productos consiste de dos o más grupos de literales, cada literal es recibida como entrada por un AND y la salida de cada una de estas compuertas (AND) es recibida como entrada por una compuerta OR.
Ejemplo: 
 Contraejemplo: 

 es decir, el circuito combinatorio de una suma de productos debe de tener el siguiente patrón:



 Un producto de sumas consiste de dos o más grupos de literales, cada literal es recibida como entrada por un OR y la salida de cada una de estas compuertas (OR)es recibida como entrada por una compuerta AND.

Ejemplo: 

Contraejemplo: 


 es decir, el circuito combinatorio de un producto de sumas debe de tener el siguiente patrón:



 Se puede pasar una expresión booleana a suma de productos o producto de sumas utilizando las leyes distributivas vistas anteriormente.
Ejemplo.
Convertir a producto de sumas la siguiente expresión:
Nótese que esta expresión booleana es de la forma 
donde , y    , por lo tanto como entonces  Finalmente se factoriza de la misma manera para obtener .
 Ejemplo. 
Convertir a suma de productos la siguiente expresión: .    
Esta expresión booleana es de la forma 
donde , y .
Siguiendo la ley distributiva 
obtenemos  que conduce a

   
 .
 Finalmente, los siguientes teoremas permiten convertir a producto de sumas o suma de productos una expresión de manera sencilla:
 

 Ejemplo. Convertir a suma de productos:


 Ejemplo. Convertir a producto de sumas:





Para mayor comprensión del tema, visualiza el siguiente video desde la plataforma de youtube:https://www.youtube.com/watch?v=6fXE2_67z_Q





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