Definición.
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo
centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario
" º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y
produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta
dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de
postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y
otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los
siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con
respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce
un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º
" es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y
B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º "
es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A,
B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y
" % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos
los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento
de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con
respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente
de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en
el siguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero
y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y
verdadero.
- El símbolo ·
representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de
variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación
lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto
entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica
OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la
suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador
unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la
negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola
expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de
los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT,
operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el
OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia
están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador
lógico NOT es asociativo por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:
P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND,
OR y NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para
el operador NOT
P3 Los operadores ·
y + son conmutativos.
P4 · y + son
distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+
(B·C) = (A+B) ·(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y
A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
P6 · y + son ambos
asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana
utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de
los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de De
Morgan en honor al matemático que los descubrió.
Ley conmutativa :
el orden de aplicación de dos términos separados no es importante
Ley
asociativa : esta ley permite
eliminar corchetes de una expresión y reagrupar las variables.
Ley
distributiva : esta ley
permite la multiplicación o factorización de una expresión.
Leyes del Álgebra Booleana Ejemplo
Usando las leyes anteriores, simplifique la siguiente expresión: (A + B) (A + C)
Luego, la
expresión: (A + B) (A + C) se puede simplificar a A + (BC) como en la ley
distributiva
Tablas
de la verdad para las leyes de Boolean
Para mayor comprensión del tema, visualiza el siguiente video desde la plataforma de youtube: https://www.youtube.com/watch?v=p58C7OWe3Xk
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